Lenia の定義 - sion2000114のブログ

はじめに
Lenia-0 の定義
局所規則の詳細
おわりに

はじめに

前回はセルオートマトンの数学的な定義について述べました．
今回はセルオートマトンを利用したライフゲーム（Game of Life; GoL）を一般化した Lenia-0 の数学的な定義について述べていきます．

Lenia-0 の定義

セルオートマトン $\mathcal{A}$ は次のような5つ組で定義されました：

$\mathcal{A} \triangleq (\mathcal{L}, \mathcal{T}, \mathcal{S}, \mathcal{N}, \phi)$

Lenia-0 $\mathcal{A}_\text{L0}$ は次のような5つ組で定義されます：

$\mathcal{A}_\text{L0} \triangleq (\Delta \boldsymbol{x}\mathbb{Z}^2, \ \Delta t \mathbb{Z}, \ \Delta p \{0, \dots, P\}, \ \mathbb{B}_1[0], \ \mathbf{A}^{t + \Delta t} \longmapsto [\mathbf{A}^t + \Delta t \ \mathbf{G}^t(\mathbf{K}_\boldsymbol{\beta} * \mathbf{A}^t)]^1_0)$

ここで， $\mathcal{L} = \Delta \boldsymbol{x} \mathbb{Z}^2$ は格子点間の距離を $\Delta \boldsymbol{x} = \dfrac{1}{R}$ （ $R \in \mathbb{N}$ 　空間分解能）とした2次元格子， $\mathcal{T} = \Delta t \mathbb{Z}$ は時間ステップの間隔を $\Delta t = \dfrac{1}{T}$ （ $T \in \mathbb{N}$ 　時間分解能）とした時間集合， $\mathcal{S} = \Delta p \{0, \dots, P\}$ は状態精度 $\Delta p = \dfrac{1}{P}$ （ $P \in \mathbb{N}$ 　状態分解能）の状態集合， $\mathcal{N} = \mathbb{B}_1[0] = \{\boldsymbol{x} \in \mathcal{L} \mid \|\boldsymbol{x}\|_2 \leq 1\}$ は Euclid $L^2$ -ノルム上の半径1の単位円近傍， $\mathbf{A}^{t + \Delta t} \longmapsto [\mathbf{A}^t + \Delta t \ G^t(\mathbf{K}_\boldsymbol{\beta} * \mathbf{A}^t)]^1_0$ は局所規則で，

$\begin{array}{lcll} \phi: & \mathcal{S}^\mathcal{N} & \longrightarrow & \mathcal{S}\\ & \mathbf{A}^t(\mathcal{N}_\boldsymbol{x}) & \longmapsto & \phi(\mathbf{A}^t(\mathcal{N}_\boldsymbol{x})) \triangleq [\mathbf{A}^t(\boldsymbol{x}) + \Delta t \ \mathbf{G}^t(\boldsymbol{x})]^1_0 \end{array}$

を表します．

局所規則の詳細

ここでは局所規則についてもう少し詳しく説明します．

前回説明した内容ではありますが， $\mathbf{A}^t(\boldsymbol{x})$ は時刻 $t \in \mathcal{T}$ における点 $\boldsymbol{x} \in \mathcal{L}$ の状態を表していて，点 $\boldsymbol{x}$ における近傍を $\mathcal{N}_\boldsymbol{x} \triangleq \{\boldsymbol{x} + \boldsymbol{n} \mid \boldsymbol{n} \in \mathcal{N}\}$ とすれば，

$\mathbf{A}^t(\mathcal{N}_\boldsymbol{x}) \triangleq \{\mathbf{A}^t(\boldsymbol{n}) \mid \boldsymbol{n} \in \mathcal{N}_\boldsymbol{x}\}$

は近傍 $\mathcal{N}_\boldsymbol{x}$ 上の状態集合を表します．
また， $\mathbf{G}^t(\boldsymbol{x})$ は成長分布というものです．
成長分布について説明するために，いくつか準備します．

カーネル

カーネル $\mathbf{K}_\boldsymbol{\beta}: \ \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{S}$ は，その詳細な「質感」を決定するカーネルコア関数 $K_\text{c} \: [0,1] \longrightarrow [0,1]$ と，全体の「骨格」を決定するカーネルシェル関数 $K_\text{s} \: [0,1] \longrightarrow [0,1]$ によって構成されています．
カーネルコア関数 $K_\text{c}$ は $K_\text{c}(0) = K_\text{c}(1) = 0$ を満たす単峰性関数（山が1つであるような関数）となっていて，通常は $K_\text{c}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1$ を満たすように構成されます．
カーネルコア関数の引数に中心からの距離 $r \in [0, 1]$ を取ることによって，点の周囲に均一な輪を作ることができます：

$K_\text{c}(r) = \left\{ \begin{array}{ll} e^{\alpha - \frac{\alpha}{4r(1-r)}} & \text{指数関数，} \alpha = 4\\ (4r(1-r))^\alpha & \text{多項式関数，} \alpha = 4\\ \mathbb{I}_{\left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right]}(r) & \text{矩形}\\ \cdots & \text{or others} \end{array} \right.$

ここで， $\mathbb{I}$ はステップ関数です：

$\mathbb{I}_A(r) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & r \in A\\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right.$

次に，カーネルシェル関数 $K_\text{s}$ はサイズ $B \in \mathbb{N}$ のベクトル $\boldsymbol{\beta} = (\beta_1, \dots, \beta_B) \in [0, 1]^B$ を引数に取って，カーネルコア関数 $K_\text{c}$ をピークの高さ $\beta_i$ の等距離同心円にコピーするものになっています：

$K_\text{s}(r; \boldsymbol{\beta}) = \beta_{\lfloor Br \rfloor} K_\text{c}(Br \mod 1)$

最後に，カーネル $\mathbf{K}_\boldsymbol{\beta}$ として次のように正規化します：

$\mathbf{K}_\boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{n}) \triangleq \dfrac{K_\text{s}(\|\boldsymbol{n}\|_2; \boldsymbol{\beta})}{|K_\text{s}|}, \quad \boldsymbol{n} \in \mathcal{N}$

ここで， $|K_\text{s}|$ は $|K_\text{s}| = \displaystyle\sum_{\boldsymbol{n} \in \mathcal{N}} K_\text{s}(\|\boldsymbol{n}\|_2; \boldsymbol{\beta}) \Delta \boldsymbol{x}^2$ を表しています．

まとめると，カーネル $\mathbf{K}_\boldsymbol{\beta}$ は次のように定義されます：

$\begin{array}{llll} \mathbf{K}_\boldsymbol{\beta}: & \mathcal{N} & \longrightarrow & \mathcal{S}\\ & \boldsymbol{n} & \longmapsto & \mathbf{K}_\boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{n}) \triangleq \dfrac{K_\text{s}(\|\boldsymbol{n}\|_2; \boldsymbol{\beta})}{|K_\text{s}|} \end{array}$

ポテンシャル分布

カーネル $\mathbf{K}_\boldsymbol{\beta}:\ \mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{S}$ と，時刻 $t \in \mathcal{T}$ における点 $\boldsymbol{x} \in \mathcal{L}$ の状態 $\mathbf{A}^t(\boldsymbol{x})$ とで畳み込み $\mathbf{K}_\boldsymbol{\beta} * \mathbf{A}^t(\boldsymbol{x})$ を行うことで，ポテンシャル分布 $\mathbf{U}^t$ が得られます：

$\begin{align} \mathbf{U}^t(\boldsymbol{x}) &= \mathbf{K}_\boldsymbol{\beta} * \mathbf{A}^t(\boldsymbol{x})\\ &\triangleq \sum_{\boldsymbol{n} \in \mathcal{N}} \mathbf{K}_\boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{n}) \mathbf{A}^t (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{n}) \Delta \boldsymbol{x}^2 \end{align}$

成長分布

成長分布を考える前に，成長関数 $G: \ [0,1] \longrightarrow [-1, 1]$ について考えます．
成長関数 $G$ は $G(\mu)=1$ を満たす，パラメータ $\mu,\ \sigma \in \mathbb{R}$ （成長中心，成長幅）を持つ単峰性非単調関数がよく用いられています：

$G(u; \mu, \sigma) = \left\{ \begin{array}{ll} 2e^{-\frac{(u-\mu)}{2\sigma^2}}-1 & \text{指数関数}\\ 2 \mathbb{I}_{[\mu \pm 3\sigma]}(u) \left(1 - \dfrac{(u-\mu)^2}{9\sigma^2}\right)^\alpha - 1 & \text{多項式関数，} \alpha=4\\ 2 \mathbb{I}_{[\mu \pm \sigma]}(u) - 1 & \text{矩形}\\ \dots & \text{or others} \end{array} \right.$

先程定義したポテンシャル分布 $\mathbf{U}^t$ を成長関数 $G:\ [0,1] \longrightarrow [-1,1]$ に与えることで，成長分布 $\mathbf{G}^t$ が得られます：

$\mathbf{G}^t(\boldsymbol{x}) = G(\mathbf{U}^t(\boldsymbol{x}))$

状態更新

定義した局所規則から状態更新の式を考えると，

$\begin{align} \mathbf{A}^{t + \Delta t}(\boldsymbol{x}) &= \Phi(\mathbf{A}^t)(\boldsymbol{x})\\ &= \phi(\mathbf{A}^t(\mathcal{N}_\boldsymbol{x}))\\ &= [\mathbf{A}^t(\boldsymbol{x}) + \Delta t \ \mathbf{G}^t(\boldsymbol{x})]^1_0 \end{align}$